Négyzet Alapú Gúla Térfogata
Hasznos megjegyzések négyzet alapú gúlákhoz Négyzet alapú gúla esetén két olyan síkmetszetet készíthetünk, amely a gúlával kapcsolatos számolásoknál hasznos lehet. A metsző sík mindkét esetben tartalmazza a gúla magasságát. Az egyik esetben a sík átmegy továbbá az alaplapot alkotó négyzet két szemközti oldalának felezőpontján. Ekkor egy olyan egyenlőszárú háromszög keletkezik ( EGI) melynek alapja a négyzet oldala, szárai pedig a gúla oldallapját alkotó háromszögek magasságai. Ebben a háromszögben az alapokon nyugvó szögek a gúla alaplapja és oldallapja által bezárt szöget adják. A másik esetben a sík tartalmazza az alaplapot alkotó négyzet két szemközti csúcsát. Ekkor egy olyan egyenlőszárú háromszög keletkezik ( EBC) melynek alapja a négyzet átlója, szárai pedig a gúla oldalélei. Ebben a háromszögben az alapokon nyugvó szögek a gúla alaplapja és oldaléle által bezárt szöget adják. Ebből a háromszögből határozható meg a gúla köré írt gömb sugara is. Hasznos megjegyzések szabályos gúlákhoz Ha a szabályos gúla alaplapja valamely n oldalú szabályos sokszög, akkor a fentiekhez hasonlóan két olyan síkmetszetet készíthetünk amelyek a számolások során hasznosak lehetnek.
- Gúla: térfogat és felszín — online számítás, képletek
- HALMAZOK
- Négyzet Alapú Gúla Felszíne, Négyzet Alap Gla Felszine De
- Mekkora a négyzet alapú gúla alapéle, ha oldaléle 10 cm, magassága 8 cm....
Gúla: Térfogat És Felszín — Online Számítás, Képletek
A gúla egy olyan test, amelynek alapja egy n-oldalú sokszög, palástja pedig n darab háromszögből áll. Ezeknek a háromszögeknek van egy közös csúcsuk, ami nincs rajta az alap síkján. A gúlát az alaplapját alkotó sokszög alapján nevezzük el. Például: háromszög alapú gúla, négyzet alapú gúla. Ha egy gúla alaplapja szabályos sokszög és csúcsának az alaplapra eső merőleges vetülete a sokszög középpontjában van, akkor a gúlát szabályos gúlának nevezzük. A gúla térfogata A gúla alaplapjának területét T -vel, magasságát m -mel jelölve a gúla térfogata: (1) Ez ismerős lehet, hiszen a tetraéder térfogatát is pontosan így kell kiszámolni. Ez pedig azért van, mivel a tetraéder tulajdonképpen egy gúla, egészen pontosan a háromszög alapú gúlát nevezzük így. A gúla felszíne Jelöljük a gúla palástjának területét P -vel. Ekkor a gúla felszíne: (2) Ha egy gúlába gömb írható, akkor a beírt gömb sugara a gúla adataival az alábbi módon számolható ki: (3) Itt r a gúlába írható gömb sugara, V a gúla térfogata, A pedig a felülete.
Halmazok
Minden négyzet alapú egyenes gúla két (független) adattal meghatározható. Ezek lehetnek például: alapél és gúla magasság; alapél és oldalél; alapél és oldalél-alaplap hajlásszöge; stb. A négyzetalapú gúla hálója Egy négyzet alapú egyenes gúla oldallapjai egybevágó egyenlőszárú háromszögek. A gúla magassága a gúla csúcsából (E) az alaplapra bocsájtott merőleges talppontja (K) az alaplap (ABCD) négyzet középpontja. A négyzet alapú egyenes gúlák közül talán az egyik legismertebb a gizai nagy piramis, más néven a Kheopsz piramis. Az ókori világ hét csodája közül ez az egyetlen, amely még látható. A gizai nagy (Kheopsz) piramis Az ókori világ hét csodája A Kheopsz piramis méretei lenyűgözőek. Ennek négyzet alapú gúlának két meghatározó (eredeti) adata: alapélének hossza: 232. 4 méter, magassága: 146. 7 méter. (A mai méretek egy kicsit ettől eltérőek: kb. 230 és 137. 5 méter. ) Ebből a két adatból a négyzet alapú gúla, így a piramis többi adata már kiszámolható. Feladat: S zámítsuk ki a Kheopsz piramist alkotó négyzetalapú gúla térfogatát és felszínét!
Négyzet Alapú Gúla Felszíne, Négyzet Alap Gla Felszine De
A szabályos négyzet alapú gúla felszínének kiszámítása A gúla felszínének kiszámítása az alapél és a test magasságának ismeretében A szabályos négyzet alapú gúla alaplapjának területe persze most is. A szabályos négyzet alapú gúla oldallapjának területe. Legyen a szokásoknak megfelelően a gúla csúcsa P, magasságának talppontja O, az egyik alapél felezőpontja E. POE derékszögű háromszögben O-nál derékszög van. Ekkor PO = m, OE = a/2, PE =, s a Pitagorasz-tétel alapján.
Mekkora A Négyzet Alapú Gúla Alapéle, Ha Oldaléle 10 Cm, Magassága 8 Cm....
A beírt kör sugarát megkapjuk, ha ebből az O pontból merőlegest állítunk az oldallap magasságára. Így kapjuk az L pontot. A beírt kör (OL) sugarának hosszát kiszámíthatjuk ennek a háromszögnek a segítségével a t F2F1E =r b ⋅s képlet segítségével. Itt " s " a háromszög kerületének a fele. A Kheopsz piramis esetén a beírt gömb sugarát tehát a következő számítás adja: \( t_{LFE}=\frac{232. 4·146. 7}{2}≈17046. 54 \; m \) . Az F 2 F 1 E háromszög kerülete: a+2⋅m o. Azaz 232, 4 +2⋅187 m. Így s= 303. 3 m. Tehát a Kheopsz piramis oldallapjait érintő gömb sugara r b ≈56. 2 m lenne. Megjegyzés: Ha egy poliéderbe (sokszöglapokkal határolt test) gömb írható, akkor ennek a gömbnek a sugarát a következő összefüggéssel is megkaphatjuk: \( r_{b}=\frac{3·V}{A} \) . Azaz a térfogat háromszorosát osztjuk a felszín mértékével. A Kheopsz piramis esetén: \( r_{b}=\frac{3·2641077}{140995}≈56. 2 \) m. Persze nem minden poliéderbe írható gömb. Hiszen a például a téglatestbe sem, ha az nem kocka. 4. Köré írt gömb.
Infinitezimális megokolás [ szerkesztés] Az y tengelyt a gúla csúcsa felé irányozzuk úgy, hogy a gúla magassága az y tengely egy darabja legyen. A gúlát végtelen sok végtelenül finom rétegre bontjuk, és δ( y)-nal jelöljük az y -odik rétegben a gúlafelszínének vastagságát. Így a középpontos hasonlóság tulajdonságai alapján: Ezzel egy réteg térfogata dV = δ(y)dy. Innen a gúla térfogata a rétegek térfogatainak összegzésével kapható meg: Csonka gúla [ szerkesztés] Ha a gúlát egy, az alappal párhuzamos síkkal elvágjuk egy kisebb gúlát és egy csonka gúlát kapunk. A csonka gúla térfogata:, ahol T 1 és T 2 az alaplapok területe, H a csonkagúla magassága. Források [ szerkesztés] Reimann István: Geometria (angolul) Weisstein, Eric W. "Pyramid. " From MathWorld --A Wolfram Web Resource